第一章 流体流动

1.1 流体静力学

压力表示方法

流体的压力可以用绝对压力、表压或真空度来表示。

绝对压力 = 表压 + 大气压

绝对压力 = 大气压 - 真空度

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流体静力学基本方程

对于静止流体，压力随深度变化的关系为：

$$P=P_0+\rho gh$$

其中：

• $P$：深度 $h$ 处的压力
• $P_0$：表面压力
• $\rho$：流体密度
• $g$：重力加速度
• $h$：深度

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U型管压差计

用于测量两点间压力差的常用装置：

$$\mathrm{\Delta }P=({\rho }_m-\rho )gR$$

式中：

• ${\rho }_m$：指示液密度
• $\rho$：被测流体密度
• $R$：U型管读数差

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1.2 流体动力学

连续性方程

对于不可压缩流体，质量守恒定律的表达式：

$$u_1{A}_1=u_2{A}_2=V_s$$

即流速与截面积成反比。

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伯努利方程

在恒定流动中，理想流体且不可压缩时的机械能守恒方程：

$$g{z}_1+\frac{p_1}{\rho }+\frac{u_1^2}{2}=g{z}_2+\frac{p_2}{\rho }+\frac{u_2^2}{2}+W_e-\sum h_f$$

或写成压头形式：

$$z_1+\frac{p_1}{\rho g}+\frac{u_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\rho g}+\frac{u_2^2}{2g}+H_e-H_f$$

各项物理意义：

• $z$：位压头（位置高度）
• $\frac{p}{\rho g}$：静压头（压力高度）
• $\frac{u^2}{2g}$：动压头（速度高度）
• $H_e$：外加压头
• $H_f$：压头损失

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雷诺数与流态

判断流体流动状态的准则：

$$Re=\frac{\rho ud}{\mu }=\frac{ud}{\nu }$$

• $Re<2000$：层流
• $2000<Re<4000$：过渡区
• $Re>4000$：湍流

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1.3 流体阻力

沿程阻力计算

达西-魏斯巴赫公式：

$$h_f=\lambda \frac{L}{d}\frac{u^2}{2g}$$

或写成压降形式：

$$\mathrm{\Delta }{p}_f=\lambda \frac{L}{d}\frac{\rho u^2}{2}$$

式中 $\lambda$ 为沿程阻力系数，与 $Re$ 和管壁粗糙度有关。

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摩擦系数 $\lambda$ 的计算

层流区 ($Re<2000$)：

$$\lambda =\frac{64}{Re}$$

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湍流区：使用经验公式或查莫迪图

布拉修斯公式（$Re=3\times {10}^3～1\times {10}^5$）：

$$\lambda =\frac{0.3164}{R{e}^{0.25}}$$

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局部阻力计算

局部阻力系数法：

$$h_f=\zeta \frac{u^2}{2g}$$

当量长度法：

$$h_f=\lambda \frac{L_e}{d}\frac{u^2}{2g}$$

式中：

• $\zeta$：局部阻力系数
• $L_e$：当量长度

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1.4 管路计算

简单管路

对于等径管路，柏努利方程可简化为：

$$\frac{\mathrm{\Delta }p}{\rho g}=H_f=(\lambda \frac{L}{d}+\sum \zeta )\frac{u^2}{2g}$$

或：

$$V_s=C_0{A}_0\sqrt{\frac{2\mathrm{\Delta }p}{\rho }}$$

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并联管路

特点：

• 总流量等于各支管流量之和：$V_s=V_{s1}+V_{s2}+V_{s3}$
• 各支管能量损失相等：$h_{f1}=h_{f2}=h_{f3}$

流量分配：

$$\frac{V_{s1}}{V_{s2}}=\sqrt{\frac{d_1^5}{{\lambda }_1{L}_1}}/\sqrt{\frac{d_2^5}{{\lambda }_2{L}_2}}$$

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分支管路

特点：

• 各支管流量满足连续性方程
• 交点处（节点）总压头为定值
• 从同一节点出发的各支管，终点压头可能不同

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1.5 流量测量

孔板流量计

流量公式：

$$V_s=C_0{A}_0\sqrt{\frac{2R({\rho }_m-\rho )g}{\rho }}$$

式中：

• $C_0$：孔流系数（约0.6～0.7）
• $A_0$：孔口截面积
• $R$：U型管压差计读数
• ${\rho }_m$：指示液密度

特点：结构简单，但能量损失大

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文丘里流量计

流量公式：

$$V_s=C_V{A}_2\sqrt{\frac{2R({\rho }_m-\rho )g}{\rho }}$$

式中：

• $C_V$：流量系数（约0.98～0.99）
• $A_2$：喉管截面积

特点：能量损失小，但结构复杂、造价高

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转子流量计

流量公式：

$$V_s=C_R{A}_R\sqrt{\frac{2V_f({\rho }_f-\rho )g}{\rho A_f}}$$

式中：

• $C_R$：转子流量系数
• $A_R$：环隙截面积
• $V_f$：转子体积
• ${\rho }_f$：转子密度
• $A_f$：转子最大截面积

特点：恒压差、变截面，读数方便

刻度换算（对不同流体）：

$$\frac{V_{s2}}{V_{s1}}=\sqrt{\frac{{\rho }_1({\rho }_f-{\rho }_2)}{{\rho }_2({\rho }_f-{\rho }_1)}}$$

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1.6 重要概念总结

层流与湍流的本质区别：

• 层流：流体分层流动，质点运动轨迹平行，无径向脉动
• 湍流：质点存在不规则的径向脉动，有涡流产生

边界层概念：

• 壁面附近存在速度梯度的流体薄层
• 边界层分离会导致形体阻力增大

牛顿黏性定律：

$$\tau =\mu \frac{du}{dy}$$

式中 $\tau$ 为剪应力，$\mu$ 为动力黏度

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